Introduction aux preuves

La source: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.introduction.html

par Larry W. Cusick

Les preuves sont au cœur des mathématiques. Si vous êtes majeur en mathématiques, vous devez alors vous débrouiller avec des preuves – vous devez être capable de les lire, de les comprendre et de les écrire. Quel est le secret? Quelle magie avez-vous besoin de savoir? La réponse courte est: il n’y a pas de secret, pas de mystère, pas de magie. Tout ce qui est nécessaire est un peu de bon sens et une compréhension de base de quelques techniques fiables et faciles à comprendre.

La structure d’une preuve

La structure de base d’une preuve est simple: c’est juste une série d’énoncés, chacun étant soit

  • Une hypothèse ou
  • Une conclusion, qui découle clairement d’une hypothèse ou d’un résultat précédemment prouvé.

Et c’est tout. Parfois, il y aura la remarque de clarification, mais cela est juste pour le lecteur et n’a pas d’incidence logique sur la structure de la preuve.

Une preuve bien écrite coulera. Autrement dit, le lecteur devrait avoir l’impression de faire un tour qui les mènera directement et inévitablement à la conclusion souhaitée, sans aucune distraction pour des détails non pertinents. Chaque étape doit être claire ou au moins clairement justifiée. Une bonne preuve est facile à suivre.

Lorsque vous avez terminé avec une preuve, appliquez le test simple ci-dessus à chaque phrase: est-ce clairement (a) une hypothèse ou (b) une conclusion justifiée? Si la phrase échoue au test, peut-être qu’elle n’appartient pas à la preuve.

Un exemple: l’irrationalité de la racine carrée de 2

Pour pouvoir rédiger des épreuves, vous devez être capable de les lire. Voyez si vous pouvez suivre la preuve ci-dessous. Ne vous inquiétez pas de la façon dont vous auriez (ou n’auriez pas) eu l’idée de la preuve. Lisez la preuve avec un oeil sur les critères énumérés ci-dessus. Chaque phrase est-elle clairement une hypothèse ou une conclusion? La preuve coule-t-elle? Le théorème a-t-il été prouvé?

Avant de commencer la preuve, rappelons quelques définitions. Un nombre réel est appelé rationnel s’il peut être exprimé par le rapport de deux entiers: p / q. Les anciens Grecs pensaient que tous les nombres étaient rationnels. Un nombre qui n’est pas rationnel serait appelé irrationnel. Vous pensez probablement que p est irrationnel. (Cela peut vous surprendre que ce ne soit pas facile à prouver.) Lorsque les Grecs ont prouvé que la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel, les fondements mêmes de l’arithmétique ont été remis en question. C’est l’une des raisons pour lesquelles la géométrie grecque a par la suite prospéré: tous les nombres pourraient être traités géométriquement sans référence à la rationalité.

Un autre fait dont nous aurons besoin est le Théorème Fondamental de l’Arithmétique. Ce théorème de sondage excitant n’est rien de plus que le fait que chaque entier positif a une représentation unique en tant que produit de nombres premiers. La technique de preuve que nous allons utiliser est preuve par contradiction. Vous n’avez besoin d’aucune connaissance spécialisée pour comprendre ce que cela signifie. C’est très simple. Nous supposerons que la racine carrée de 2 est un nombre rationnel et aboutissons ensuite à une contradiction. Assurez-vous de bien comprendre chaque ligne de la preuve.

Théorème. La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel.

Preuve. Représentons la racine carrée de 2 par s. Alors, par définition, s vérifie l’équation

s2 = 2.

Si s était un nombre rationnel, alors nous pourrions écrire

s = p/q

où p et q sont une paire d’entiers. Enfait, en divisant le multiple commun si nécessaire, nous pouvons même supposer que p et q n’ont pas de multiple commun (autre que 1). Si nous substituons maintenant cela dans la première équation, nous obtenons, après un peu d’algèbre, l’équation

p2 = 2 q2 .

Mais maintenant, selon le Théorème Fondamental de l’Arithmétique, 2 doit apparaître dans la factorisation première du nombre p2 (puisqu’il apparaît dans le même nombre 2 q2). Puisque 2 est lui-même un nombre premier, 2 doit alors apparaître dans la factorisation première du nombre p. Mais alors, 22 apparaîtrait dans la factorisation première de p2, et donc dans 2 q2. En divisant un 2, il apparaît alors que 2 est dans la factorisation de q2. Comme avant (avec p2), nous pouvons maintenant conclure que 2 est un facteur premier de q. Mais maintenant nous avons p et q partageant un facteur premier, à savoir 2. Cela viole notre hypothèse ci-dessus (voyez si vous pouvez le trouver) que p et q n’ont pas d’autre multiple que 1.

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