Clifford Algèbre en Calcul Géométrique. Clifford Algebra to Geometric Calculus

La source: http://geocalc.clas.asu.edu/html/CA_to_GC.html

David Hestenes et Garret Sobczyk

© Kluwer. D’abord publié en 1984; réimprimé avec corrections en 1992.
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Le calcul géométrique est un langage permettant d’exprimer et d’analyser l’ensemble des concepts géométriques en mathématiques. L’algèbre de Clifford fournit la grammaire. Les nombres complexes, les quaternions, l’algèbre matricielle, le calcul vectoriel, le tenseur et le spineur et les formes différentielles sont intégrés dans un seul système complet. Le calcul géométrique développé dans ce livre présente les caractéristiques suivantes: un développement systématique de définitions, concepts et théorèmes nécessaires pour appliquer le calcul facilement et efficacement à presque toutes les branches des mathématiques ou de la physique; une formulation d’algèbre linéaire capable d’effectuer des calculs détaillés sans matrices ni coordonnées; nouvelles preuves et traitements de formes canoniques, y compris une discussion approfondie sur les représentations spinorielles des rotations dans le n-espace euclidien; un nouveau concept de différenciation qui permet de formuler des calculs sur des variétés et d’effectuer des calculs complets d’éléments tels que le jacobien d’une transformation sans recourir à des coordonnées; une approche de la géométrie différentielle sans coordonnées comportant une nouvelle quantité, le tenseur de forme, à partir de laquelle le tenseur de courbure peut être calculé sans connexion; une formulation de la théorie de l’intégration basée sur un concept de mesure dirigée, avec de nouveaux résultats, incluant une généralisation de la formule intégrale de Cauchy en espaces à n dimensions et une formule intégrale explicite pour l’inverse d’une transformation; une nouvelle approche des groupes de Lie et des algèbres de Lie.

Table des matières

Préface
introduction
Symboles et notations

Chapitre 1 / Algèbre Géométrique
      1-1. Axiomes, définitions et identités
      1-2. Espaces vectoriels, pseudoscalaires et projections
      1-3. Cadres et matrices
      1-4. Formes alternantes et déterminants
      1-5. Algèbres géométriques des espaces pseudo-euclidiens

Chapitre 2 / Différenciation
      2-1. Différenciation par vecteurs
      2-2. Dérivés multivectoriels, différentiels et adjoints
      2-3. Factorisation et dérivés simpliciau

Chapitre 3 / Fonctions linéaires et multilinéaires
      3-1. Transformations linéaires et surmorphismes
      3-2. Multivecteurs caractéristiques et le théorème de Cayley-Hamilton
      3-3. Eigenblades et espaces invariants
      3-4. Transformations symétriques et asymétriques
      3-5. Transformations normales et orthogonales
      3-6. Formes canoniques et transformations linéaires générales
      3-7. Tenseurs métriques et isométries
      3-8. Isométries et spineurs d’espaces pseudo-euclidiens
      3-9. Fonctions multivectorielles linéaires
      3-10. Des tenseurs

Chapitre 4 / Calcul sur les variétés de vecteur
      4-1. Manifolds de vecteur
      4-2. Projection, forme et courbure
      4-3. Dérivés intrinsèques et supports de Lie
      4-4. Curl et Pseudoscalar
      4-5. Transformations des variétés de vecteur
      4-6. Calcul des transformations induites
      4-7. Nombres complexes et transformations conformes

Chapitre 5 / Géométrie différentielle des manifolds vectoriels
      5-1. Curl et Curvature
      5-2. Hyperspaces dans les espaces euclidiens
      5-3. Géométries connexes
      5-4. Parallélisme et géométries apparentées
      5-5. Géométries associées à la forme
      5-6. Géométries induites

Chapitre 6 / La méthode des mobiles
      6-1. Cadres et coordonnées
      6-2. Mobiles et courbure
      6-3. Cadres Courbes et Comoving
      6-4. Le calcul des formes différentielles

Chapitre 7 / Théorie de l’intégration dirigée
      7-1. Intégrales dirigées
      7-2. Dérivés d’Integrals
      7-3. Le théorème fondamental du calcul
      7-4. Antidivatives, fonctions analytiques et variables complexes
      7-5. Changer les variables d’intégration
      7-6. Fonctions inverses et implicites
      7-7. Numéros de remontage
      7-8. Le théorème de Gauss-Bonnet

Chapitre 8 / Groupes de Lie et Algèbres de Lie
      8-1. Théorie générale
      8-2. Calcul
      8-3. Classification

Références
Indice

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